一群各自旋转的振子，被连成一个网络之后，会发生什么？有的会慢慢同步，有的会分裂成两个对立的阵营。而研究者想做的，是让这群振子替我们“算”出一道复杂的优化题——把组合优化问题变成振子网络的集体行为，让系统自己演化到低能量状态，也就是问题的优解。
但真要把这件事做成，绕不开三个问题：参数怎么调、噪声给多大、网络怎么连？ 如果只靠数值模拟逐一试探，参数空间大、代价高，而且很难说清“为什么这组参数管用”。
近日，复旦大学计算神经科学与类脑智能教育部重点实验室纪鹏团队在国际学术期刊 Advanced Science 发表题为 “Analytical Prediction of Critical Transitions in Oscillator Networks With Non-Local Links” 的研究论文。研究提出了结合谱降维、福克-普朗克方程与配分函数分析的解析理论框架，揭示了耦合强度、随机噪声及网络拓扑结构对振子伊辛系统稳定性、集体状态转变和低能量配置的影响，为理解复杂振子网络的临界动力学行为及其组合优化机制提供了理论依据。
先从一个简单的场景说起。夏日夜晚，草丛里的萤火虫会同步闪烁；心脏里的起搏细胞，会以整齐的节律一起跳动；电力网中的发电机，必须保持频率一致，否则就会出问题。这些看似毫不相关的现象，背后其实是同一件事：一群原本各转各的振子，在相互连接之后，会自发形成集体行为。
Kuramoto模型正是描述这类现象的经典工具。它告诉我们，振子之间只要通过相位差彼此影响，就可能从混乱走向同步。但同步只是开始。近些年，研究者想用这套机制做一件更特别的事：把组合优化问题编码成振子网络，让系统自己演化到低能量状态，从而找到问题的优解。
想法很巧妙，但一落到具体参数上，问题就来了。系统的稳定性、集体状态和优化性能，同时受到耦合强度、二次谐波、随机噪声和网络拓扑的影响。这些因素彼此纠缠，单靠数值模拟逐一试探，不仅代价高，还很难说清“为什么这组参数管用”。如何解析地预测振子网络的临界转变，并揭示这些因素对优化结果的影响机制，仍是该领域的重要研究问题。
针对上述问题，研究团队从确定性动力学、随机动力学和网络拓扑结构三个层面开展研究，建立了振子伊辛系统的解析预测框架。
1. 基于谱降维理论，解析预测振子网络的稳定性边界
研究团队采用谱降维方法，通过构建低维全局观测量，将高维振子网络在稳定态附近的局部稳定性分析转化为低维动力学问题。
研究推导了系统受到微小扰动后的演化方程，揭示了全局耦合强度与二次谐波强度之间的稳定性平衡关系，以及网络谱性质对系统稳定性的影响。研究发现，增强二次谐波作用能够促进系统恢复稳定状态，而全局耦合强度的影响则取决于网络结构。随机网络和规则网络中的数值模拟进一步验证了理论预测。
▲ 图1. 基于谱降维方法的振子网络稳定性分析，揭示全局耦合强度与二次谐波强度之间的稳定性平衡关系
2. 基于福克-普朗克方程，揭示噪声诱导的集体状态转变
随机噪声在振子伊辛优化中具有双重作用：适度噪声有助于系统探索低能量配置，而过强噪声则可能破坏振子相位的二值化结构。
研究团队通过平均场福克-普朗克方程分析随机振子网络的相位概率分布，解析推导了系统由单簇状态向双簇状态转变的临界条件，揭示了二次谐波与随机噪声共同调控集体相变的机制。
研究进一步发现，在所考察的反铁磁耦合模型中，当二次谐波强度大于噪声参数时，振子相位更容易集中于0和π附近，系统更容易获得低能量伊辛配置；而过强噪声则会削弱优化性能。
▲ 图2. 福克-普朗克方程揭示噪声与二次谐波共同作用下的集体状态转变及伊辛能量分布
3. 基于配分函数与网络谱分析，揭示非局域连接对优化解的影响
研究团队以环形网络为参考拓扑，利用配分函数分析不同非局域连接对期望优化解数量的影响，并建立了相应的解析表达式。
研究发现，在所比较的非局域连接方式中，与第三近邻节点建立连接能够获得最多的期望解。进一步的网络谱分析表明，这一现象与图拉普拉斯矩阵的谱性质密切相关，其最大特征值与期望解数量呈现相似的变化趋势。该结果揭示了特定网络拓扑下连接方式与优化解分布之间的关系，为振子伊辛系统的网络结构设计提供了理论参考。
▲ 图3. 配分函数与网络谱分析揭示非局域连接对期望解数量的影响，其中第三近邻连接表现出相对优势
为验证理论结果，研究团队将振子伊辛系统应用于图着色和最大割两类典型组合优化问题。
在图着色问题中，研究团队利用振子动力学实现了美国本土地图的有效四色着色。在最大割问题中，针对包含800个节点、19176条边的G1基准网络，获得了11624的已知最佳割值。通过与相干伊辛机、模拟退火等方法进行比较，并在不同规模的随机正则网络上开展数值实验，验证了该方法在所研究问题中具有竞争力的求解质量。
▲ 图4. 振子伊辛系统求解最大割问题的数值结果，包括稳定性分析、动力学参数影响及不同优化方法的性能比较
本研究结合复杂网络动力学与统计物理方法，建立了振子伊辛系统临界转变的解析预测框架，揭示了动力学参数、随机噪声及网络结构对集体行为与低能量配置的共同影响。研究成果不仅深化了对复杂振子网络动力学机制的理解，也为振子伊辛优化系统的参数调控与网络结构设计提供了理论依据。
复旦大学类脑智能科学与技术研究院博士毕业生、复旦大学智慧医疗超声实验室博士后李强为第一作者，纪鹏研究员为通讯作者，我院David Waxman教授，华为技术有限公司孙楚旻、孙杰及牛津大学数学研究院Renaud Lambiotte教授为本研究合作者。本研究得到了科技创新2030、国家自然科学基金青年及面上项目等经费支持。
原文链接：
https://doi.org/10.1002/advs.78134
纪鹏，复旦大学计算神经科学与类脑智能教育部重点实验室研究员，复杂系统跨学科研究联合实验室主任，从事复杂系统、数据驱动分析、机器学习算法等交叉研究方向。以第一或通讯作者在Nature Physics、Nature Communications、Physics Reports、Physical Review Letters、Advanced Science等期刊发表多篇论文
